6.5 Expected Value and Variance of a Function of X

一、核心概念 / Core Concepts

1. 函数期望值 / Expected Value of Functions

如果X是离散随机变量，g是函数，那么g(X)也是离散随机变量。

If X is a discrete random variable, and g is a function, then g(X) is also a discrete random variable.

数学定义 / Mathematical Definition：

\[E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x)\]

这是E(X²)公式的更一般形式。

2. 线性变换规则 / Linear Transformation Rules

对于简单函数，如加法和乘以常数，可以使用特定规则简化计算。

For simple functions, such as addition and multiplication by a constant, specific rules can be used to simplify calculations.

期望值规则 / Expected Value Rules：

• E(aX + b) = aE(X) + b（其中a和b是常数）

• E(X + Y) = E(X) + E(Y)（如果X和Y是随机变量）

3. 方差变换规则 / Variance Transformation Rules

可以使用类似的规则来简化某些随机变量函数的方差计算。

Similar rules can be used to simplify variance calculations for some functions of random variables.

方差规则 / Variance Rules：

• Var(aX + b) = a²Var(X)（其中a和b是常数）

• 常数项不影响方差，只有系数a会影响方差的大小

函数期望值和方差公式 / Function Expected Value and Variance Formulas

1. 函数期望值 / Expected Value of Functions

\[E(g(X)) = \sum g(x) P(X = x)\]

随机变量X的函数g(X)的期望值。

The expected value of function g(X) of random variable X.

2. 线性变换期望值 / Linear Transformation Expected Value

\[E(aX + b) = aE(X) + b\]

其中a和b是常数。

Where a and b are constants.

3. 线性变换方差 / Linear Transformation Variance

\[Var(aX + b) = a^2 Var(X)\]

其中a和b是常数，常数项不影响方差。

Where a and b are constants, constant terms do not affect variance.

4. 随机变量和的期望值 / Expected Value of Sum of Random Variables

\[E(X + Y) = E(X) + E(Y)\]

如果X和Y是随机变量。

If X and Y are random variables.

计算函数期望值和方差的步骤 / Steps for Calculating Function Expected Value and Variance

步骤1：识别函数类型
Step 1: Identify the function type
确定是线性函数还是复合函数。
步骤2：应用相应规则
Step 2: Apply appropriate rules
对于线性函数，使用E(aX + b) = aE(X) + b和Var(aX + b) = a²Var(X)。
步骤3：构造新分布（如需要）
Step 3: Construct new distribution (if needed)
对于复合函数，构造g(X)的概率分布。
步骤4：计算期望值
Step 4: Calculate expected value
使用E(g(X)) = Σg(x)P(X = x)公式。
步骤5：验证结果
Step 5: Verify results
检查计算是否正确，理解结果的含义。

函数期望值和方差的实际应用场景 / Practical Applications of Function Expected Value and Variance

学习与应用要点 / Key Points for Learning and Application

线性变换性质：线性变换保持期望值的线性性质，但方差会按系数平方缩放。
Linear Transformation Properties: Linear transformations preserve the linearity of expected values, but variance scales by the square of the coefficient.
常数项影响：常数项只影响期望值，不影响方差。
Constant Term Effects: Constant terms only affect expected values, not variance.
复合函数处理：对于复合函数，需要构造新的概率分布，然后应用期望值公式。
Composite Function Handling: For composite functions, construct new probability distributions and then apply expected value formulas.
验证技巧：使用线性变换规则验证直接计算的结果。
Verification Techniques: Use linear transformation rules to verify results from direct calculations.